扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter)

前言

根据之前的章节，我们知道卡尔曼滤波是针对线性系统+高斯噪声的最优估计器，线性系统包含两个方面：(1)状态转移过程是线性的，(2)观测方程是线性的。

然而，实际情况存在很多非线性系统，例如双目观测 \( Z=fb/d \)。TODO:举出更多的例子。

那么对于非线性系统，存在什么样的方法呢？

这就是要提到的扩展卡尔曼滤波。

介绍

扩展卡尔曼滤波的内容和卡尔曼滤波基本一致，这里只列出不同的地方

状态转移方程：

\[ \boldsymbol{x}_{k} = f(\boldsymbol{x}_{k-1}) + \boldsymbol{w}_k \]

观测方程：

\[ \boldsymbol{y}_k = g(\boldsymbol{x}_k) + \boldsymbol{n}_k \]

这里的状态转移方程和观测方程不再能直接用矩阵乘法来表达了，因为状态转移过程是非线性的，这里用抽象的函数符号 \( f \) 和 \( g \) 来表示。

扩展卡尔曼滤波的想法很简单，就是在当前状态下，对状态转移方程和观测方程进行泰勒展开，取一阶系数矩阵作为近似。

\[ f(\boldsymbol{x}_{k-1}) \approx \check{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{x}_{k-1}) \]

其中

\[ \boldsymbol{F}_{k-1} = \left . \frac{\partial f(\boldsymbol{x}_{k-1})} {\partial \boldsymbol{x}_{k-1}} \right \vert _{\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}} \]

TODO:继续完成